Задача 61099

Темы:    [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ] [ Многочлены Чебышева ] [ Тригонометрия (прочее) ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Название задачи: Многочлены Чебышева.

Условие

а) Используя формулу Муавра, докажите, что  cos nx = T_n(cos x),  sin nx = sin x U_n–1(cos x),  где T_n(z) и U_n(z) – многочлены степени n.
При этом по определению  U₀(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

  Многочлены T_n(z) и U_n(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

Решение

  а)    
         
Заменив везде sin²φ на  1 – cos 2φ,  получим доказываемо утверждение.

  б)  cos 4φ = 2cos²2φ – 1 = 2(2cos²φ – 1)² – 1 = 8cos⁴φ – 8cos²φ + 1.
  cos 5φ = cos⁵φ – 10cos³φ sin²φ + 5cos φ sin⁴φ = cos⁵φ – 10cos³φ(1 – cos²φ) + 5cos φ (1 – cos²φ)² = 16cos⁵φ – 20cos³φ + 5cos φ.
  sin 3φ = 3sin φ – 4sin³φ = sin φ (3 – 4 + 4 cos²φ) = sin φ (4cos²φ – 1).
  sin 4φ = 2cos 2φ sin 2φ = 4(2cos²φ – 1) cos φ sin φ = sin φ (8 cos³φ – 4cos φ).
  sin 5φ = 5cos⁴φ sin φ – 10cos²φ sin³φ + sin⁵φ = sin φ (5cos⁴φ – 10cos²φ(1 – cos²φ) + (1 – cos²φ)²) = sin φ (16cos⁴φ – 12cos²φ + 1).
  sin 6φ = 2sin 3φ cos 3φ = 2sin φ (4cos²φ – 1)(4 cos³φ – 3cos φ) = 2sin φ(16cos⁵φ – 16cos³φ sin²φ + 3cos φ).
  Таким образом,  T₄(z) = 8z⁴ – 8z² + 1,  T₅(z) = 16z⁵ – 20z³ + 5z,
U₂(z) = 4z² – 1,  U₃(z) = 8z³ – 4z,  U₄(z) = 16z⁴ – 12z² + 1,  U₅(z) = 32z⁵– 32z³ + 6z.

Ответ

T₀(z) = 1,  T₁(z) = z,  T₂(z) = z – 1,  T₃(z) = 4z² – 3z,  T₄(z) = 8z⁴ – 8z² + 1,  T₅(z) = 16z⁵ – 20z³ + 5z,
U₁(z) = 2z,  U₂(z) = 4z² – 1,  U₃(z) = 8z³ – 4z,  U₄(z) = 16z⁴ – 12z² + 1,  U₅(z) = 32z⁵– 32z³ + 6z.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.035