Задача 61104

Темы:    [ Тригонометрия (прочее) ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

а) Докажите, что    где a₀, ..., a_n – рациональные числа.

б) Найдите эти представления в явном виде для  n = 2, 3, 4, 5.

в) Выразите sinⁿx при чётном n в виде    а при нечётном – в виде  

Подсказка

а) Легко доказывается по индукции с использованием формулы  cos x cos y = ½ cos(x – y) + ½ cos(x + y).

Ответ

б)  cos²x = ½ + ½ cos 2x,   cos³x = ¾ cos x + ¼ cos 3x,   cos⁴x = ³/₈ + ½ cos 2x + ¹/₈ cos 4x,   cos⁵x = ⁵/₈ cos x + ⁵/₁₆ cos 3x + ¹/₁₆ cos 5x.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.040