Задача 61126

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Используя разложение  (1 + i)ⁿ  по формуле бинома Ньютона, найдите:
  а)  

  б)  

Решение

а) Указанная сумма равна  Re(1 + i)¹⁰⁰,  а  (1 + i)¹⁰⁰ = (2i)⁵⁰ = –2⁵⁰.

б) Сумма равна  Im(1 + i)⁹⁹,  а  (1 + i)⁹⁹ = (1 + i)(2i)⁴⁹ = (1 + i)·2⁴⁹i⁴⁹ = (1 – i)·2⁴⁹.

Ответ

а) –2⁵⁰;  б) 2⁴⁹.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.062