ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61206
Тема:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть $ \alpha$ и $ \beta$ — острые и положительные углы, удовлетворяющие равенствам

3 sin2$\displaystyle \alpha$ + 2 sin2$\displaystyle \beta$ = 1,
3 sin 2$\displaystyle \alpha$ - 2 sin 2$\displaystyle \beta$ = 0.

Докажите, что $ \alpha$ + 2$ \beta$ = $ {\frac{\pi}{2}}$.


Решение

Из данных соотношений находим:

sin 2$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{3}{2}}$sin 2$\displaystyle \alpha$,    3 sin2$\displaystyle \alpha$ = 1 - 2 sin2$\displaystyle \beta$ = cos 2$\displaystyle \beta$.

Отсюда

cos($\displaystyle \alpha$ + 2$\displaystyle \beta$) = cos$\displaystyle \alpha$ . 3 sin2$\displaystyle \alpha$ - sin$\displaystyle \alpha$$\displaystyle {\textstyle\dfrac{3}{2}}$sin 2$\displaystyle \alpha$ = 0.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 8
Название Алгебра + геометрия
Тема Неопределено
параграф
Номер 3
Название Тригонометрия
Тема Тригонометрия (прочее)
задача
Номер 08.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .