Информация о задаче

Задача 61206

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 3-
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — острые и положительные углы, удовлетворяющие равенствам

3 sin² $\displaystyle \alpha$ + 2 sin² $\displaystyle \beta$ = 1,

3 sin 2 $\displaystyle \alpha$ - 2 sin 2 $\displaystyle \beta$ = 0.

Докажите, что $\alpha$ + 2 $\beta$ = ${\frac{\pi}{2}}$ .

Решение

Из данных соотношений находим:

sin 2 $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{3}{2}}$ sin 2 $\displaystyle \alpha$ , 3 sin² $\displaystyle \alpha$ = 1 - 2 sin² $\displaystyle \beta$ = cos 2 $\displaystyle \beta$ .

Отсюда

cos( $\displaystyle \alpha$ + 2 $\displaystyle \beta$ ) = cos $\displaystyle \alpha$ ^.3 sin² $\displaystyle \alpha$ - sin $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle {\textstyle\dfrac{3}{2}}$ sin 2 $\displaystyle \alpha$ = 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Тригонометрия
Тема	Тригонометрия (прочее)
задача
Номер	08.045