Информация о задаче

Задача 61226

Тема:

[

Обратные тригонометрические функции

]

Сложность: 3-
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что имеют место следующие соотношения:

cos arcsin x = $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ ; sin arccos x = $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ ;

tg arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{x}}$ ; ctg arctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{x}}$ ;

cos arctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ ; sin arctg x = $\displaystyle {\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ ;

cos arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ ; sin arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ .

Решение

а) Пусть y = arcsin x $\left(\vphantom{-{\pi}/{2}\leqslant x\leqslant {\pi}/{2}}\right.$ - $\pi$ /2 $\leqslant$ x $\leqslant$ $\pi$ /2 $\left.\vphantom{-{\pi}/{2}\leqslant x\leqslant {\pi}/{2}}\right)$ . Тогда sin y = x, cos y = $\sqrt{1-\sin^2y}$ = $\sqrt{1-x^2}$ , причем перед корнем выбирается знак плюс, так как cos y $\geqslant$ 0. Остальные формулы доказываются аналогично.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Тригонометрия
Тема	Тригонометрия (прочее)
задача
Номер	08.065