Информация о задаче

Задача 61227

Тема:

[

Обратные тригонометрические функции

]

Сложность: 2+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите равенства:

arctg x + arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ ; arcsin x + arccos x = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ .

Решение

На основании определения имеем:

- $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ arctg x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ , 0 $\displaystyle \leqslant$ arcctg x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \pi$ .

Отсюда

- $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ arctg x + arcctg x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\dfrac{3\pi}{2}}$ .

Остается проверить равенство

sin(arctg x + arcctg x) = 0.

Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что

- $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ arcsin x + arccos x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\dfrac{3\pi}{2}}$

и найти

sin(arcsin x + arccos x).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Тригонометрия
Тема	Тригонометрия (прочее)
задача
Номер	08.066