Задача 61257

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что уравнение  x³ + ax² – b = 0,  где a и b вещественные и  b > 0,  имеет один и только один положительный корень.

Решение

  Поскольку левая часть в нуле отрицательна, а при больших x положительна, то по крайней мере один положительный корень есть. Если других действительных корней нет, то все в порядке.
  Пусть уравнение имеет три действительных корня x₁, x₂, x₃.  x₁x₂x₃ = b > 0,  поэтому либо ровно один корень положительный (что и требуется), либо все три положительны. Но последний случай противоречит равенству  x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.006