ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61257
Темы:    [ Теорема Виета ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение  x³ + ax² – b = 0,  где a и b вещественные и  b > 0,  имеет один и только один положительный корень.


Решение

  Поскольку левая часть в нуле отрицательна, а при больших x положительна, то по крайней мере один положительный корень есть. Если других действительных корней нет, то все в порядке.
  Пусть уравнение имеет три действительных корня x1, x2, x3.  x1x2x3 = b > 0,  поэтому либо ровно один корень положительный (что и требуется), либо все три положительны. Но последний случай противоречит равенству  x1x2 + x2x3 + x1x3 = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.006

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .