ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61260
Тема:    [ Кубические многочлены ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выразите через a и b действительный корень уравнения  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.


Решение 1

Из равенства  (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)  ясно, что  x = a + b  – корень нашего уравнения. Поделив  x³ – a³ – b³ – 3abx  на  x – a – b,  получим квадратное уравнение  x² + (a + b)x + a² – ab + b²  и найдём его комплексные корни.


Решение 2

Согласно решению задачи 61259  x³ – a³ – b³ – 3abx = (x – a – b)(x – ωa – ω²b)(x – ω²a – ωb),  где ω – кубический корень из 1.


Ответ

x1 = a + b,  x² = ωa + ω²bx³ = ω²a + ωb,  где ω – кубический корень из 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .