ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61259
Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Разложите многочлен  a³ + b³ + c³ – 3abc  на три линейных множителя.


Решение

  Пусть ω — кубический корень из 1.
  Будем рассматривать наше выражение как многочлен от переменной ab и c – как константы). Как известно (см. задачу 61005 г),
a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc).  Следовательно,  – (b + c)  – корень этого многочлена. Но это же выражение можно записать в виде  a³ + ω³b³ + ω6c³ – 3ω³abc = a³ + (ωb)³ + (ω²c)³ – 3ab)(ω²c),  и из вышеуказаного разложения следует, что  – (ωb + ω²c)  – также корень. Аналогично корнем нашего многочлена является и  – (ω²b + ωc).  Значит,  a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a + ωb + ω²c)(a + ω²b + ωc).


Ответ

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a + ωb + ω²c)(a + ω²b + ωc).

Замечания

См. также решение 1 задачи 61260.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .