Задача 61262

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11 Название задачи: Формула Кардано.

Условие

Получите формулу для корня уравнения  x³ + px + q = 0:
    x = + .

Решение

Согласно задаче 61258, взяв  a = ,  b = ,  получим уравнение  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.  Согласно задаче 61260 оно имеет три корня:  a + b,  ωa + ω²b  и  ω²a + ωb,  где ω – кубический корень из 1.

Замечания

Если  ^q²/₄ + ^p³/₂₇ > 0,  a и b вещественны, и уравнение имеет вещественный корень a + b и два сопряженных комплексных корня.
Если же  ^q²/₄ + ^p³/₂₇ < 0,  то a и b – комплексные числа, но все три корня оказываются вещественными (см. задачу 61272).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.011