Задача 61265

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Производная и экстремумы ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения  x³ – x – a = 0.

Решение 1

Приравняв к нулю производную  3x² – 1,  находим, что функция  x³ – x  имеет максимум, равный     в точке     и минимум, равный     в точке     Отсюда ответ.

Решение 2

Согласно задаче 61272 число корней определяется знаком выражения  4p³ + 27q² = – 4 + 27a²  (см. также замечание к задаче 61262).

Ответ

Три корня при     один корень при     два корня, один из которых кратный, при    

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.014