ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61271
Темы:    [ Кубические многочлены ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Кривая  4p³ + 27q² = 0  на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения  x³ + px + q = 0.  Прямые  ap + q + a³ = 0,  соответствующие трёхчленам, имеющим корень a, называются корневыми. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько?


Решение

Подставив в уравнение дискриминантной кривой  q = – ap – a³,  получим уравнение  4p³ + 27a²(p + a²)² = 0.  Нетрудно заметить, что корнем его является
p1 = – 3a².  Поделив на  p + 3a²,  получим квадратное уравнение  4p² + 15a²p + 9a4 = 0,  которое имеет корни  p² = – 3a²  и  p³ = – ¾ a².  Им соответствуют значения  q2 = 2a³  и  q3 = – ¼ a³.  Итак, корневая прямая касается дискриминантной кривой в точке  (– 3a², 2a³)  и пересекает её в точке  (– ¾ a², – ¼ a³).  При  a = 0  эти точки совпадают (тройное касание).


Ответ

При  a ≠ 0  – две общие точки, при  a = 0  – одна.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.020

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .