|
|
 |
Условие
Кривая 4p³ + 27q² = 0 на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения x³ + px + q = 0. Прямые ap + q + a³ = 0, соответствующие трёхчленам, имеющим корень a, называются корневыми. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько?
Решение
Подставив в уравнение дискриминантной кривой q = – ap – a³, получим уравнение 4p³ + 27a²(p + a²)² = 0. Нетрудно заметить, что корнем его является
p1 = – 3a². Поделив на p + 3a², получим квадратное уравнение 4p² + 15a²p + 9a4 = 0, которое имеет корни p² = – 3a² и p³ = – ¾ a². Им соответствуют значения q2 = 2a³ и q3 = – ¼ a³. Итак, корневая прямая касается дискриминантной кривой в точке (– 3a², 2a³) и пересекает её в точке (– ¾ a², – ¼ a³). При a = 0 эти точки совпадают (тройное касание).
Ответ
При a ≠ 0 – две общие точки, при a = 0 – одна.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 9 |
| Название | Уравнения и системы |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Уравнения третьей степени |
| Тема | Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения |
| задача | |
| Номер | 09.020 |
