ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61278
Тема:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')³ = (q – q')³.


Решение

  Общий корень является также корнем уравнений   (x³ + px + q) – (x³ + p'x + q') = (p – p')x + (q – q') = 0  и
q'(x³ + px + q) – q(x³ + p'x + q') = (q' – q)x³ + (pq' – qp')x = 0.
  Если общий корень – 0, то  q' = q = 0,  и условие выполнено.
  В противном случае  (p – p')x = q' – q,  (q' – q)x² = qp' – pq'.
  Отсюда  (q – q')³ = (q – q')(p – p'x² = (p – p')²(pq' – qp').

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.027

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .