|
|
 |
Условие
Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных
уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду
x4 = Ax² + Bx + C. (*)
б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде x4 + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²). (**)
Докажите, что для некоторого α > – A/2 правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).
Решение
а) Чтобы в уравнении t4 + at³ + bt² + ct + d = 0 устранить коэффициент перед третьей степенью достаточно сделать замену t = x – a/4.
б) Для того чтобы выражение (A + 2α)x² + Bx + (C + α²) было полным квадратом, то есть представлялось в виде (px + q)², достаточно обращения в ноль дискриминанта B² – 4(A + 2α)(C + α²). Раскрыв скобки, получим кубическое уравнение α³ + Aα² + 2Cα + AC – B²/4 = 0. (***)
Поскольку левая часть при α = – A/2 равна – B²/4, то уравнение (***) имеет решение на промежутке [0, + ∞).
в) Из кубического уравнения (***) находим α (например, по формуле Кардано, см. задачу 61262). После этого уравнение (**) записывается в виде
(x² + α)² = (px + q)² и распадается на два квадратных уравнения: x² + α = ± (px + q).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 9 |
| Название | Уравнения и системы |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Уравнения третьей степени |
| Тема | Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения |
| задача | |
| Номер | 09.029 |
