ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61282
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Тригонометрические замены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите систему
    y = 2x² – 1,
    z = 2y² – 1,
    x = 2z² – 1.


Решение

  Из системы видно, что все неизвестные не меньше –1. Если одно из них (например, x) больше 1, то
y = 2x² – 1 = x² + x² – 1 > x + 1 – 1 = x.  Аналогично,  z > y,  x > z.  Противоречие:  x > z > y > x.
  Следовательно,  |x| ≤ 1,  и можно сделать замену  x = cos φ,  0 ≤ φ ≤ π.  Тогда  y = cos 2φ,  z = cos 4φ,  x = cos 8φ.  Получаем уравнение
cos 8φ = cos φ,  откуда  8φ = ± φ + 2kπ,  то есть  9φ = 2kπ  или  7φ = 2kπ.


Ответ

(1, 1, 1);  (– ½, – ½, – ½);  (cos /9, cos /9, – cos π/9);  (cos /7, – cos /7, – cos π/7)  и все наборы, получающиеся из указанных циклическими перестановками.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Тригонометрические замены
Тема Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер 09.031

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .