Задача 61322

Темы:    [ Средние величины ] [ Рекуррентные соотношения ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Лемма о вложенных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11 Название задачи: Арифметико-геометрическое среднее.

Условие

Пусть a и b – два положительных числа, причём  a < b.  Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a,   b₀ = b,   a_n+1 = ,   b_n+1 =   (n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается  μ(a, b).

Решение

Ясно, что  a_n < a_n+1 < b_n+1 < b_n.  Кроме того,  0 < b_n+1 – a_n+1 < b_n+1 – a_n = ½ (b_n – a_n).  По лемме о вложенных отрезках отрезки  [a_n, b_n]  имеют единственную общую точку, которая и будет общим пределом последовательностей {a_n} и {b_n}.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.072