Задача 61328

Темы:    [ Итерации ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

x_{n + 1} = x_n - ,

(начальное условие x₀ следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x² - k и начального условия x₀ > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к , то есть x_n = .
Как будет выражаться x_{n + 1} через x_n? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.078