ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61348
Темы:    [ Системы линейных уравнений ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Исследуйте системы уравнений:

а)

б)

в)

г)

д)

е)


Подсказка

а) Левая часть первого уравнения – сумма левых частей двух остальных уравнений.
б) Сравните два последних уравнения.


Решение

  г) Рассмотрим приведённый многочлен  f(t) = t3zt² – yt – xa, b, c – его корни.
  Если a, b, c – различные числа, то  f(t) = (t – a)(t – b)(t – c),  то есть  x = abcy = – (ab + bc + ca),  z = a + b + c.
  Пусть  c = a ≠ b.  Тогда  f(t) = (t – a)(t – b)(t – u),  где u – произвольное число. Значит,  x = abu,  y = – ab – u(a + b),  z = a + b + u.
  В случае  a = b = c  ответ можно выписать сразу:  x = a(a² – y – az).

  е) После замены  u = x – 1,  v = y – 1,  w = z – 1  система приобретает геометрический смысл: вектор  (u, v, w)  ортогонален векторам
(a, b, c),  (b, c, a),  (c, a, b).  Если последние три вектора некомпланарны, то  (u, v, w) = (0, 0, 0).  Нетрудно видеть, что компланарны эти векторы в двух случаях:  a + b + c = 0  или  a = b = c.  Каждый из этих случаев легко разбирается: в первом случае  (u, v, w) = t(1, 1, 1),  во втором  u + v + w = 0.


Ответ

а) При  a = 3   x = 2,2,  y = 0,2;  при  a ≠ 3  решений нет.

б) При  a ≠ 2,  b = 2   x = 1,  y = 0;  при  a = 2,  b ≠ 2   x = 0,  y = ½;  при  a = b = 2   x = 1 – 2y;  при  a ≠ 2,  b ≠ 2   решений нет.

в) При  a = 5   x = 1,  y = 0;  при  a = b ≠ 3, 5     при  a = 3  и при  a ≠ 5,  b ≠ a   решений нет.

г) Если a, b, c – различные числа, то  x = abc,  y = – (ab + bc + ca),  z = a + b + c;  при  a ≠ bc = a  или  b   x = abu,  y = – ab – u(a + b),
z = a + b + u,  где u – произвольное число; при  a = b ≠ c   x = acu,  y = – ac – u(a + c),  z = a + c + u,  где u – произвольное число;
при  a = b = c   x = a(a² – y – az).

д) Если a, b, c – различные числа, то  
при  a = b ≠ c,  если  d = a,  то  y = 1 – x,  z = 0,  если  d = c,  то  y = – x,  z = 1,  если d не равно ни a, ни c, то решений нет;
при  a = c ≠ b,  если  d = a,  то  y = 0,  z = 1 – x,  если  d = b,  то  y = 1,  z = – x,  если d не равно ни a, ни b, то решений нет;
при  b = c ≠ a,  если  d = a,  то  x = 1,  z = – y,  если  d = b,  то  x = 0,  z = 1 – y,  если d не равно ни a, ни b, то решений нет;
при  a = b = c = d   z = 1 – x – y;  при  a = b = c ≠ d   решений нет.

е) Если  a = b = c = 0,  то x, y, z – любые числа; если  a = b = c ≠ 0,  то  z = 3 – x – y;  если  a + b + c = 0,  но не все числа a, b, c равны нулю, то  x = y = z;  в остальных случаях  x = y = z = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 4
Название Системы линейных уравнений
Тема Системы линейных уравнений
задача
Номер 09.098

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .