ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61367
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство  xαyβ ≤ αx + βy  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).


Подсказка

Сначала докажите неравенство для рациональных α и β.


Решение

Пусть  xαyβ > αx + βy  для некоторых x, y и α. При этих значениях x и y  f(α) = xαy1–α – αx – (1 – α)y  – непрерывная функция. Значит, она больше нуля на некотором интервале, содержащем α. Этот интервал содержит положительное рациональное число  r = k/n.  Положим  m = n – k.  По выбору r  f(r) > 0,  то есть     Но это противоречит неравенству Коши (см. задачу 61404 а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 1
Название Различные неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .