ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61404
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
  а)     неравенство Коши);
  б)  

  в)     где  b1 + ... + bn = 1.
  Значения переменных считаются положительными.


Решение

  а) Первый способ. Из неравенства Коши для двух чисел (см. задачу 20862) по индукции легко выводится неравенство Коши для  n = 2k  чисел. Поэтому достаточно доказать, что из неравенства Коши для n чисел следует неравенство Коши для  n – 1  числа.
  Действительно, согласно неравенству Коши для n чисел
  откуда     что и требовалось.
  Второй способ. Пусть   a1 + ... + an = n   (это не ограничивает общности). Надо доказать, что     Пусть среди чисел ai есть неравные. Тогда среди них найдутся такие два числа (можно считать, что это a1 и a2), что  a1 < 1,  a2 > 1.  Заменим a1 на  c1 = 1,  а a2 на
c2 = a1 + a2 – 1.  Тогда  c1 + c2 + a3 + ... + an  по-прежнему равно n, а     поскольку
c1c2 = 1·(a1 + a2 – 1) = a1a2 + (1 – a1)(a2 – 1) > a1a2.
  Продолжая эти замены, мы дойдём до набора  (1, 1, ..., 1).  Следовательно,  
  Третий способ. Положим  b1 = ... = bn = 1  и применим неравенство из задачи 61403.
  Четвёртый способ. Это частный случай неравенства Мюрхеда (см. задачу 61425).

  б) Положим  a1 = ... = an = 1  и применим неравенство из задачи 61403.

  в) Положим  a1 = b1c1,  ...,  an = bncn  и применим неравенство из задачи 61403.

Замечания

Из приведённых решений видно, что неравенство Коши превращается в равенство, только когда все числа равны между собой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 2
Название Суммы и минимумы
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.053

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .