ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61403
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Производная и экстремумы ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство:  
Значения переменных считаются положительными.


Подсказка

Рассмотрите функции  fk(x) = akex – bk(x + 1)  и примените задачу 614000.


Решение

  Рассмотрим функцию  f(x) = aex – b(x + 1)  (a, b > 0).  Её производная   f'(x) = aex – b  строго возрастает и обращается в ноль в точке     Следовательно,  
  Поскольку  a1ex – b1(x + 1) + ... + anex – bn(x + 1) = (a1 + ... + an)ex – (b1 + ... + bn)(x + 1),  то согласно задаче 61400     что эквивалентно доказываемому неравенству.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 2
Название Суммы и минимумы
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.052

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .