ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61392
Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Иенсена ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
Название задачи: Неравенство Юнга.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны рациональные положительные p, q, причём  1/p + 1/q = 1.  Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство   ab ≤ ap/p + bq/q.


Решение 1

Можно подобрать натуральные m и n так, чтобы выполнялись равенства     После замены  α = a1/m,  β = b1/n  исходное неравенство принимает вид     Для его доказательства достаточно воспользоваться неравенством Коши:  


Решение 2

В силу выпуклости вверх функции  ln x  неравенство  ln(αx + (1 – α)y) ≥ α ln x + (1 – α) ln y  выполняется при  0 < α < 1  для всех положительных x и y (см. задачу 61406). Подставив  α = 1/p,  x = ap,  y = bq,  получим     что и требовалось.

Замечания

Как видно из решения 2, слово "рациональные" в условии – лишнее.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 1
Название Различные неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.041

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .