ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61401
Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство:   + ... + .
Значения переменных считаются положительными.


Подсказка

Рассмотрите функции  fk(x) = akx² – 2bkx  и примените задачу 61400.


Решение 1

Заметим, что максимум функции вида  f(x) = 2bx – ax²  достигается в точке b/a и равен b²/a. Рассмотрим функции  fk(x) = 2bkx – akx².  Очевидно, что
max (f1(x) + ... + fn(x)) ≤ max f1(x) + ... + max fn(x),  что в точности совпадает с доказываемым неравенством.


Решение 2

Это неравенство получается из неравенства Коши – Буняковского (см. задачу 61402) подстановкой  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 2
Название Суммы и минимумы
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.050

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .