ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61407
Тема:    [ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2, ..., xn ( n $ \geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, ..., $ \alpha_{n}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ +...+ $ \alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$xn) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$f (xn).



Решение

Применим индукцию. При n = 2 неравенство Иенсена было доказано в задаче 10.55. Предположим, что оно верно для некоторого n $ \geqslant$ 2 и докажем его при n + 1. Пусть $ \beta$ = $ \alpha_{1}^{}$ +...+ $ \alpha_{n}^{}$ > 0. Тогда $ {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$ +...+ $ {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$ = 1. Используя неравенство с n = 2, находим

f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$xn + 1) = f$\displaystyle \left(\vphantom{\beta\left(
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n\right)+\alpha_{n+1}
x_{n+1}}\right.$$\displaystyle \beta$$\displaystyle \left(\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$x1 +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$xn$\displaystyle \left.\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$ + $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$xn + 1$\displaystyle \left.\vphantom{\beta\left(
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n\right)+\alpha_{n+1}
x_{n+1}}\right)$ >
  > $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$f (xn + 1) + $\displaystyle \beta$f$\displaystyle \left(\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$x1 +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$xn$\displaystyle \left.\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$.

Далее, по предположению индукции,

f$\displaystyle \left(\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$x1 +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$xn$\displaystyle \left.\vphantom{
\dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$ > $\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$f (x1) +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$f (xn).

Следовательно

f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$xn + 1) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$f (xn + 1).


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 3
Название Выпуклость
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.056

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .