Информация о задаче

Задача 61407

Тема:

[

Выпуклость и вогнутость

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n $\geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ x_n) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ f (x_n).

Решение

Применим индукцию. При n = 2 неравенство Иенсена было доказано в задаче 10.55. Предположим, что оно верно для некоторого n $\geqslant$ 2 и докажем его при n + 1. Пусть $\beta$ = $\alpha_{1}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ > 0. Тогда ${\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$ +...+ ${\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$ = 1. Используя неравенство с n = 2, находим

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$ x_{n + 1})	=	f $\displaystyle \left(\vphantom{\beta\left( \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n\right)+\alpha_{n+1} x_{n+1}}\right.$ $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$ x₁ +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$ x_n $\displaystyle \left.\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$ + $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$ x_{n + 1} $\displaystyle \left.\vphantom{\beta\left( \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n\right)+\alpha_{n+1} x_{n+1}}\right)$ >
	>	$\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$ f (x_{n + 1}) + $\displaystyle \beta$ f $\displaystyle \left(\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$ x₁ +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$ x_n $\displaystyle \left.\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$ .

Далее, по предположению индукции,

f $\displaystyle \left(\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right.$ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$ x₁ +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$ x_n $\displaystyle \left.\vphantom{ \dfrac{\alpha_1}{\beta}x_1+\ldots+\dfrac{\alpha_n}{\beta}x_n}\right)$ > $\displaystyle {\dfrac{\alpha_1}{\beta}}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle {\dfrac{\alpha_n}{\beta}}$ f (x_n).

Следовательно

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$ x_{n + 1}) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle \alpha_{n+1}^{}$ f (x_{n + 1}).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	3
Название	Выпуклость
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.056