ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61409
Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Выпуклость и вогнутость ]
[ Неравенство Иенсена ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенства:
  а)   n(x1 + ... + xn) ≥ ( + ... +
  б)   + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.


Подсказка

Это – частные случаи неравенства Иенсена (задача 61407) для  α1 = ... = αn = 1/n  и функций
а)       б)  f(x) = 1/x²;     в)  f(x) = enx;     г)  f(x) = 1/x.


Решение

в) Первый способ. Это – другая запись неравенства Коши.
Второй способ. Поcле замены  yi = ln xi  неравенство запишется в виде     а это – неравенство Иенсена для функции enx.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 3
Название Выпуклость
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.058

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .