ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61414
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Предел функции ]
[ Неравенство Иенсена ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  α < 0 < β,  то   Sα(x) ≤ S0(x) ≤ Sβ(x),  причём  
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.


Решение

  Оба неравенства следуют из неравенства Иенсена (см. задачу 61407), применённого к функции  f(x) = eαx  и точкам  ln x1, ..., ln xn.
  Для подсчёта пределов воспользуемся приближённой формулой для функции ex, которая верна на отрезке  x ∈ [–1, 1]:  ex = 1 + x + θx²  (|θ| < 1).
  При достаточно малом α получим  
  где  A = θ1n–2(ln²x1 + ... + ln²xn),  B = θ2n–2 ln²(x1...xn),  |θ1|, |θ2| < 1.  Поэтому

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 3
Название Выпуклость
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.063

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .