Задача 61417

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 3- Классы: 10,11

Условие

  Определение. Пусть  α = (k, j, i)  – набор целых неотрицательных чисел,  k ≥ j ≥ i.  Через T_α(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида x^ay^bz^c по всем шести перестановкам  (a, b, c)  набора  (k, j, i).
  Аналогично определяются многочлены T_α для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
  Запишите через многочлены вида T_α неравенства
  а)  x⁴y + y⁴x ≥ x³y² + x²y³;
  б)  x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.

Ответ

а)  T_4,1(x, y) ≥ T_3,2(x, y);    б)  T_3,1,1(x, y, z) ≥ T_2,2,1(x, y, z).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	4
Название	Симметрические неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.066