Задача 61426

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

Решение

  Доказательство с помощью неравенства Мюрхеда см. в указанной задаче.

  а) Достаточно сложить три неравенства вида  x⁴y²z + x²y⁴z – 2x³y³x = x²y²z(x – y)² ≥ 0.

  б) Первый способ. Докажем сначало неравенство  x⁵ + y⁵ ≥ x³y² + x²y³.  После деления на  x + y  оно приводится к виду
x⁴ + y⁴ – x³y – xy³ = (x³ – y³)(x – y) ≥ 0.  Осталось сложить три неравенства вида  x³y² + y²z³ – x²y²z – xy²z² = y²(x² – z²)(x – z) ≥ 0.
  Второй способ. По неравенству Коши

3(x²y²z + x²yz² + xy²z²) = 3xyz(xy + xz + yz) ≥ (x³> + y³ + z³)(x² + y² + z²) = x⁵ + y⁵ + z⁵ + (x³y² + x²y³) + (x³z² + x²z³) + (y³z² + y²z³).

  Поэтому достаточно проверить, что  x⁵ + y⁵ – x³y² – x²y³ = (x³ – y³)(x² – y²) ≥ 0.

  в) Достаточно сложить четыре неравенства вида  x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	4
Название	Симметрические неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.075