Информация о задаче

Задача 61486

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть (1 + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ )ⁿ = p_n + q_n $\sqrt{2}$ + r_n $\sqrt{3}$ + s_n $\sqrt{6}$ (n $\geqslant$ 0). Найдите:

а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{q_n}}$ ; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{r_n}}$ ; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{s_n}}$ .

Решение

Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ , получим равенства

$\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n + q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ + r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ + s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ ,
$\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n - q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ + r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ - s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ ,
$\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n + q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ - r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ - s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ ,
$\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n - q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ - r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ + s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1), (1, - 1, 1, - 1), (1, 1, - 1, - 1), (1, - 1, - 1, 1), находим

p_n	=	$\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ),

q_n	=	$\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt2}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ),

r_n	=	$\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt3}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ),

s_n	=	$\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt6}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ).

Отсюда $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{q_n}}$ = $\sqrt{2}$ , $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{r_n}}$ = $\sqrt{3}$ , $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{s_n}}$ = $\sqrt{6}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	2
Название	Рекуррентные последовательности
Тема	Рекуррентные соотношения
задача
Номер	11.059