Задача 61522

Темы:    [ Многочлены Гаусса ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Условие

Докажите следующие свойства функций g_k,l(x) (определения функций g_k,l(x) смотри здесь):
  а)  g_k,l(x) = ,  где  h_m(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – x^m)   (h₀(x) = 1);
  б)  g_k,l(x) = g_l,k(x);
  в)   g_k,l(x) = g_k–1,l(x) + x^kg_k,l–1(x) = g_k,l–1(x) + x^lg_k–1,l(x);
  г)  g_k,l+1(x) = g_0,l(x) + xg_1,l(x) + ... + x^kg_k,l(x);
  д)  g_k,l(x) – многочлен степени kl.
  Многочлены g_k,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.

Подсказка

Свойство а) непосредственно следует из определения.
Свойства б) и в) непосредственно вытекают из а).
Свойство г) доказывается индукцией по k при помощи свойства в).
Свойство д) доказывается индукцией по l при помощи свойства г).

Замечания

Более прямое доказательство д) см. в задаче 61029.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	4
Название	Многочлены Гаусса
Тема	Последовательности
задача
Номер	11.095