Задача 61524

Тема:    [ Многочлены Гаусса ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Найдите сумму  S_l(x) = g_0,l(x) – g_1,l–1(x) + g_2,l–2(x) – ... + (–1)^lg_l,0(x).
Определение многочленов Гаусса g_k,l(x) можно найти в справочнике.

Решение

  Из задачи 61522 в) следует, что  S_l(x) = (1 – x^l–1)g_0,l–1(x) – (1 – x^l–2)g_1,l–2(x) + ... + (–1)^l–1(1 – x⁰)g_l–1,0(x).  Применяя очевидное равенство
(1 – x^m)g_k,m(x) = (1 – x^k+m)g_k,m–1(x)  к каждому слагаемому в последней сумме, приходим к равенству  S_l(x) = (1 – x^l–1)S_l–2(x).
  Поскольку  S₁(x) = 0,  отсюда следует, что  S_l(x) = 0  для каждого нечётного l.
  S₀(x) = 1,  поэтому для чётного  l = 2n  получаем  

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	4
Название	Многочлены Гаусса
Тема	Последовательности
задача
Номер	11.097