ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64316
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2009, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников.
Докажите, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4.


Решение

Докажем, что найдётся прямоугольник, длина и ширина которого – числа одинаковой чётности (тогда его периметр будет делиться на 4). Предположим, что это не так, то есть у каждого из прямоугольников длина и ширина выражаются числами разной чётности. Тогда площадь каждого прямоугольника – чётное число, следовательно, и площадь квадрата также должна быть чётным числом, а на самом деле площадь квадрата равна 20092. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 8 (2010 год)
Дата 2010-02-28
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .