Задача 64316
|
|
 |
Условие
Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2009, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников.
Докажите, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4.
Решение
Докажем, что найдётся прямоугольник, длина и ширина которого – числа одинаковой чётности (тогда его периметр будет делиться на 4). Предположим, что это не так, то есть у каждого из прямоугольников длина и ширина выражаются числами разной чётности. Тогда площадь каждого прямоугольника – чётное число, следовательно, и площадь квадрата также должна быть чётным числом, а на самом деле площадь квадрата равна 20092. Противоречие.
