ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64319
Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
Название задачи: Неравенство Птолемея.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство  AB·CD + AC·BD > AD·BC.


Решение

  Пусть D' – проекция точки D на плоскость ABC. Обозначим  a = BC,  b = AC,  c = AB,  d = DD',  u = AD',  v = BD',  w = CD'.  Надо доказать неравенство     После возведения в квадрат получаем

  Согласно неравенству Птолемея для точек на плоскости (см. задачу 58396 а)  cw + bv ≥ au,  то есть  c²w² + b²v² + 2bcvwa²u².  Согласно неравенству треугольника  c + b > a,  то есть  c² + b² + 2bc > a².  Следовательно, достаточно доказать, что     Но это – частный случай неравенства Коши – Буняковского (см. задачу 61402 а).


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .