Информация о задаче

Задача 58396

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 7-
Классы: 9,10,11
Название задачи: Неравенство Птолемея.

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB^.CD + BC^.AD $\ge$ AC^.BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A₁, A₂, ...A₆ — произвольные точки плоскости, то

$\begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_... ...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6. \end{multline*}$

в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A₁...A₆ — вписанный шестиугольник.

Решение

а) Утверждение задачи вытекает из следующих свойств комплексных чисел: 1) | zw| = | z|^.| w|; 2) | z + w| $\le$ | z| + | w|. Действительно, если a, b, c, d — произвольные комплексные числа, то

(a - b)(c - d )+ (b - c)(a - d )= (a - c)(b - d ).

Поэтому

| a - b|^.| c - d| + | b - c|^.| a - d| $\displaystyle \ge$ | a - c|^.| b - d|.

б) Нужно лишь проверить соответствующее тождество для комплексных чисел a₁, ..., a₆ (это тождество получается из написанного в условии неравенства заменой знака $\le$ на знак =, и заменой каждого сомножителя A_iA_j на сомножитель (a_i - a_j).
в) Нестрогое неравенство | z + w| $\le$ | z| + | w| обращается в равенство тогда и только тогда, когда комплексные числа z и w пропорциональны с вещественным положительным коэффициентом пропорциональности. Поэтому, как видно из решения задачи а), неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда число ${\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}}$ вещественно и положительно, т. е. число q = ${\frac{a-b}{a-d}}$ : ${\frac{c-b}{c-d}}$ вещественно и отрицательно. Число q — это двойное отношение чисел a, b, c, d. Согласно задаче 29.27, б) оно вещественно тогда и только тогда, когда данные точки лежат на одной окружности. Остается доказать, что если данные точки лежат на одной окружности, то q отрицательно тогда и только тогда, когда ломаная abcd несамопересекающаяся. Последнее условие эквивалентно тому, что точки b и d лежат на разных дугах, высекаемых точками a и c. Отобразим нашу окружность при помощи инверсии на прямую. В решении задачи 29.26 показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому если a^*, b^*, c^*, d^* — комплексные числа, соответствующие образам наших точек, то их двойное отношение равно q. Рассматривая всевозможные (с точностью до порядка) способы расположения точек a^*, b^*, c^*, d^* на прямой, легко убедиться, что q < 0 тогда и только тогда, когда на отрезке a'c' лежит ровно одна из точек b' и d'.
г) Задачу б) можно следующим образом решить с помощью неравенства Птолемея:

$\begin{multline*} A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6... ...5\cdot A_2A_4)\cdot A_3A_6 \ge A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6. \end{multline*}$

Все использованные нестрогие неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда четырехугольники A₁A₂A₃A₄, A₂A₃A₄A₅, A₁A₃A₅A₆ и A₁A₂A₄A₅ вписанные. Легко видеть, что это эквивалентно тому, что шестиугольник A₁...A₆ вписанный.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.028