ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58396
Темы:    [ Теорема Птолемея ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 7-
Классы: 9,10,11
Название задачи: Неравенство Птолемея.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD$ \ge$AC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то

\begin{multline*}
A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le
A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_...
...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6.
\end{multline*}


в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.

Решение

а) Утверждение задачи вытекает из следующих свойств комплексных чисел: 1) | zw| = | z| . | w|; 2) | z + w|$ \le$| z| + | w|. Действительно, если a, b, c, d — произвольные комплексные числа, то

(a - b)(c - d )+ (b - c)(a - d )= (a - c)(b - d ).

Поэтому

| a - b| . | c - d| + | b - c| . | a - d|$\displaystyle \ge$| a - c| . | b - d|.


б) Нужно лишь проверить соответствующее тождество для комплексных чисел a1, ..., a6 (это тождество получается из написанного в условии неравенства заменой знака $ \le$ на знак =, и заменой каждого сомножителя AiAj на сомножитель (ai - aj).
в) Нестрогое неравенство | z + w|$ \le$| z| + | w| обращается в равенство тогда и только тогда, когда комплексные числа z и w пропорциональны с вещественным положительным коэффициентом пропорциональности. Поэтому, как видно из решения задачи а), неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда число $ {\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}}$ вещественно и положительно, т. е. число q = $ {\frac{a-b}{a-d}}$ : $ {\frac{c-b}{c-d}}$ вещественно и отрицательно. Число q — это двойное отношение чисел a, b, c, d. Согласно задаче 29.27, б) оно вещественно тогда и только тогда, когда данные точки лежат на одной окружности. Остается доказать, что если данные точки лежат на одной окружности, то q отрицательно тогда и только тогда, когда ломаная abcd несамопересекающаяся. Последнее условие эквивалентно тому, что точки b и d лежат на разных дугах, высекаемых точками a и c. Отобразим нашу окружность при помощи инверсии на прямую. В решении задачи 29.26 показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому если a*, b*, c*, d* — комплексные числа, соответствующие образам наших точек, то их двойное отношение равно q. Рассматривая всевозможные (с точностью до порядка) способы расположения точек a*, b*, c*, d* на прямой, легко убедиться, что q < 0 тогда и только тогда, когда на отрезке a'c' лежит ровно одна из точек b' и d'.
г) Задачу б) можно следующим образом решить с помощью неравенства Птолемея:

\begin{multline*}
A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6...
...5\cdot A_2A_4)\cdot A_3A_6
\ge A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6.
\end{multline*}

Все использованные нестрогие неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда четырехугольники A1A2A3A4, A2A3A4A5, A1A3A5A6 и A1A2A4A5 вписанные. Легко видеть, что это эквивалентно тому, что шестиугольник A1...A6 вписанный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.028

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .