ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 78202

Темы:   [ Комплексные числа в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58395

Темы:   [ Комплексные числа в геометрии ]
[ Свойства инверсии ]
[ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число $ {\frac{a-b}{a-c}}$, называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число $ {\frac{a-c}{a-d}}$ : $ {\frac{b-c}{b-d}}$, называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.
Прислать комментарий     Решение


Задача 102450

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Площадь треугольника равна 6$ \sqrt{6}$, периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно $ {\frac{2\sqrt{42}}{3}}$. Найдите наименьшую сторону треугольника.

Прислать комментарий     Решение


Задача 58396

 [Неравенство Птолемея]
Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD$ \ge$AC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то

\begin{multline*}
A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le
A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_...
...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6.
\end{multline*}


в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78264

Темы:   [ Векторы (прочее) ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O1 и O2 соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .