Информация о задаче

Задача 102450

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника равна 6 $\sqrt{6}$ , периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно ${\frac{2\sqrt{42}}{3}}$ . Найдите наименьшую сторону треугольника.

Подсказка

Если вписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке M, а p — полупериметр треугольника, то AM = p - BC. Воспользуйтесь этим равенством, а затем примените теорему косинусов.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в данный треугольник ABC, r — её радиус, S = 6 $\sqrt{6}$ — площадь, 2p = 18 — периметр, M — точка касания со стороной AC.

Поскольку S = p^.r, то

r = $\displaystyle {\frac{S}{p}}$ = $\displaystyle {\frac{12\sqrt{6}}{9}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{3}}$ .

Из прямоугольного треугольника AOM находим, что

AM = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}-OM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{42}}{3}\right)^{2}-\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{42-6}$ = 4.

Из равенства AM = p - BC находим, что BC = 9 - 4 = 5. Обозначим CM = x. Из равенства CM = p - AB находим, что AB = p - CM = 9 - x.

По формуле Герона

S = $\displaystyle \sqrt{p(p-BC)(p-AC)(p-AB)}$ , или 6 $\displaystyle \sqrt{6}$ = $\displaystyle \sqrt{9\cdot 4\cdot (5-x)\cdot x}$ .

Из этого уравнения находим, что x = 2 или x = 3. В первом случае AB = 7, AC = 6. Во втором — AB = 6, AC = 7. Следовательно, в каждом из этих случаев сторона BC = 5 — наименьшая.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3873