ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102450
Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника равна 6$ \sqrt{6}$, периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно $ {\frac{2\sqrt{42}}{3}}$. Найдите наименьшую сторону треугольника.


Подсказка

Если вписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке M, а p — полупериметр треугольника, то AM = p - BC. Воспользуйтесь этим равенством, а затем примените теорему косинусов.


Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в данный треугольник ABC, r — её радиус, S = 6$ \sqrt{6}$ — площадь, 2p = 18 — периметр, M — точка касания со стороной AC.

Поскольку S = p . r, то

r = $\displaystyle {\frac{S}{p}}$ = $\displaystyle {\frac{12\sqrt{6}}{9}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{3}}$.

Из прямоугольного треугольника AOM находим, что

AM = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}-OM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{42}}{3}\right)^{2}-\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ . $\displaystyle \sqrt{42-6}$ = 4.

Из равенства AM = p - BC находим, что BC = 9 - 4 = 5. Обозначим CM = x. Из равенства CM = p - AB находим, что AB = p - CM = 9 - x.

По формуле Герона

S = $\displaystyle \sqrt{p(p-BC)(p-AC)(p-AB)}$, или 6$\displaystyle \sqrt{6}$ = $\displaystyle \sqrt{9\cdot 4\cdot (5-x)\cdot x}$.

Из этого уравнения находим, что x = 2 или x = 3. В первом случае AB = 7, AC = 6. Во втором — AB = 6, AC = 7. Следовательно, в каждом из этих случаев сторона BC = 5 — наименьшая.


Ответ

5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3873

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .