Информация о задаче

Задача 102450

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника равна 6 $\sqrt{6}$ , периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно ${\frac{2\sqrt{42}}{3}}$ . Найдите наименьшую сторону треугольника.

Подсказка

Если вписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке M, а p — полупериметр треугольника, то AM = p - BC. Воспользуйтесь этим равенством, а затем примените теорему косинусов.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в данный треугольник ABC, r — её радиус, S = 6 $\sqrt{6}$ — площадь, 2p = 18 — периметр, M — точка касания со стороной AC.

Поскольку S = p^.r, то

r = $\displaystyle {\frac{S}{p}}$ = $\displaystyle {\frac{12\sqrt{6}}{9}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{3}}$ .

Из прямоугольного треугольника AOM находим, что

AM = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}-OM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{42}}{3}\right)^{2}-\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}$ =