ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78264
Темы:    [ Векторы (прочее) ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O1 и O2 соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.

Решение

Без ограничения общности можно считать, что A и B движутся по часовой стрелке с единичной угловой скоростью, т. е. в момент времени t аргументы векторов $ \overrightarrow{O_1A}$, $ \overrightarrow{O_2B}$ равны t1 + t и t2 + t соответственно. Всем векторам на плоскости можно сопоставить комплексные числа. Тогда $ \overrightarrow{O_1A}$ = z(t1 + t), $ \overrightarrow{O_2B}$ = z(t2 + t), где z($ \varphi$) = cos($ \varphi$) + i sin($ \varphi$). Пусть O — начало координат, тогда $ \overrightarrow{OA}$ = $ \overrightarrow{OO_1}$ + r1z(t1 + t) и $ \overrightarrow{OB}$ = $ \overrightarrow{OO_2}$ + r2z(t2 + t) или $ \overrightarrow{OA}$ = $ \overrightarrow{OO_1}$ + $ \alpha_{1}^{}$z(t) и $ \overrightarrow{OB}$ = $ \overrightarrow{OO_2}$ + $ \alpha_{2}^{}$z(t), где $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$ — комплексные числа. Тогда $ \overrightarrow{A(t)B(t)}$ = $ \overrightarrow{O_2O_1}$ + ($ \alpha_{2}^{}$ - $ \alpha_{2}^{}$)z(t) и вектор $ \overrightarrow{A(t)C(t)}$ получается из вектора $ \overrightarrow{A(t)B(t)}$ поворотом на 60o, т. е. умножением на z($ \pi$/3). Получается, что

$\displaystyle \overrightarrow{OC(t)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OA(t)}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A(t)C(t)}$ = z($\displaystyle \pi$/3)$\displaystyle \overrightarrow{O_2O_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OO_1}$ + z(t) . ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + z($\displaystyle \pi$/3)($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$)) = $\displaystyle \mu$ + $\displaystyle \eta$ . z(t),

где $ \mu$ и $ \eta$ — некоторые комплексные числа. Таким образом, точка C(t) движется по окружности с центром в точке $ \mu$ и радиусом |$ \eta$|.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .