Информация о задаче

Задача 78264

Темы:	[	Векторы (прочее)	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O₁ и O₂ соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.

Решение

Без ограничения общности можно считать, что A и B движутся по часовой стрелке с единичной угловой скоростью, т. е. в момент времени t аргументы векторов $\overrightarrow{O_1A}$ , $\overrightarrow{O_2B}$ равны t₁ + t и t₂ + t соответственно. Всем векторам на плоскости можно сопоставить комплексные числа. Тогда $\overrightarrow{O_1A}$ = z(t₁ + t), $\overrightarrow{O_2B}$ = z(t₂ + t), где z( $\varphi$ ) = cos( $\varphi$ ) + i sin( $\varphi$ ). Пусть O — начало координат, тогда $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{OO_1}$ + r₁z(t₁ + t) и $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{OO_2}$ + r₂z(t₂ + t) или $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{OO_1}$ + $\alpha_{1}^{}$ z(t) и $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{OO_2}$ + $\alpha_{2}^{}$ z(t), где $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ — комплексные числа. Тогда $\overrightarrow{A(t)B(t)}$ = $\overrightarrow{O_2O_1}$ + ( $\alpha_{2}^{}$ - $\alpha_{2}^{}$ )z(t) и вектор $\overrightarrow{A(t)C(t)}$ получается из вектора $\overrightarrow{A(t)B(t)}$ поворотом на 60^o, т. е. умножением на z( $\pi$ /3). Получается, что

$\displaystyle \overrightarrow{OC(t)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OA(t)}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A(t)C(t)}$ = z( $\displaystyle \pi$ /3) $\displaystyle \overrightarrow{O_2O_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OO_1}$ + z(t)^.( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + z( $\displaystyle \pi$ /3)( $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ )) = $\displaystyle \mu$ + $\displaystyle \eta$ ^.z(t),

где $\mu$ и $\eta$ — некоторые комплексные числа. Таким образом, точка C(t) движется по окружности с центром в точке $\mu$ и радиусом | $\eta$ |.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1