Задача 58395

Темы:    [ Комплексные числа в геометрии ] [ Свойства инверсии ] [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число : , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Решение

а) Пусть A, B, C — точки, соответствующие числам a, b, c. Комплексное число (a - b) : (a - c) вещественно тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны.
б) Пусть S — окружность (или прямая), на которой лежат точки b, c, d. Прибавив, если нужно, ко всем четырем числам одно и то же комплексное число (это не изменяет двойное отношение), можно считать, что окружность S проходит через 0. Значит, ее образ при инверсии — прямая. В решении задачи 29.26 показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому остается решить такую задачу. Точки (т. е. комплексные числа) b, c, d лежат на одной прямой; нужно доказать, что число a лежит на той же прямой тогда и только тогда, когда число : вещественно. Это следует из задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.027