ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58395
Темы:    [ Комплексные числа в геометрии ]
[ Свойства инверсии ]
[ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число $ {\frac{a-b}{a-c}}$, называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число $ {\frac{a-c}{a-d}}$ : $ {\frac{b-c}{b-d}}$, называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Решение

а) Пусть A, B, C — точки, соответствующие числам a, b, c. Комплексное число (a - b) : (a - c) вещественно тогда и только тогда, когда векторы $ \overrightarrow{AB}$ и $ \overrightarrow{AC}$ пропорциональны.
б) Пусть S — окружность (или прямая), на которой лежат точки b, c, d. Прибавив, если нужно, ко всем четырем числам одно и то же комплексное число (это не изменяет двойное отношение), можно считать, что окружность S проходит через 0. Значит, ее образ при инверсии — прямая. В решении задачи 29.26 показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому остается решить такую задачу. Точки (т. е. комплексные числа) b, c, d лежат на одной прямой; нужно доказать, что число a лежит на той же прямой тогда и только тогда, когда число $ {\frac{a-c}{a-d}}$ : $ {\frac{b-c}{b-d}}$ вещественно. Это следует из задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.027

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .