Условие
Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c,
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число
, называемое простым отношением трех комплексных чисел,
вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d,
лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда
число
: 
, называемое двойным отношением
четырех комплексных чисел, вещественно.
Решение
а) Пусть A, B, C — точки, соответствующие числам a, b, c.
Комплексное число
(a - b) : (a - c) вещественно тогда и только тогда, когда векторы
и
пропорциональны.
б) Пусть S — окружность (или прямая), на которой лежат точки b, c, d.
Прибавив, если нужно, ко всем четырем числам одно и то же комплексное число
(это не изменяет двойное отношение), можно считать, что окружность S проходит
через 0. Значит, ее образ при инверсии — прямая. В решении
задачи 29.26 показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии.
Поэтому остается решить такую задачу. Точки (т. е. комплексные числа) b, c,
d лежат на одной прямой; нужно доказать, что число a лежит на той же прямой
тогда и только тогда, когда число
:
вещественно. Это следует из задачи а).
Источники и прецеденты использования
