ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58394
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) $ {\frac{AC}{AD}}$ : $ {\frac{BC}{BD}}$ = $ {\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : $ {\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$;
б) $ \angle$(DA, AC) - $ \angle$(DB, BC) = $ \angle$(D*B*, B*C*) - $ \angle$(D*A*, A*C*).

Решение

Установим соответствие между точками плоскости и комплексными числами так, чтобы центр инверсии находился в нуле. Тогда образом числа z при инверсии со степенью R является число R/$ \bar{z}$. Двойным отношением комплексных чисел a, b, c, d называют комплексное число

(abcd )= $\displaystyle {\frac{a-c}{a-d}}$ : $\displaystyle {\frac{b-c}{b-d}}$.

Если a*, b*, c*, d* — образы чисел a, b, c, d при инверсии, то

\begin{multline*}
\overline{(a^*b^*c^*d^*)}=
\frac{R/a-R/c}{R/a-R/d}:\frac{R/b...
...R(c-b)/bc}{R(d-b)/bd}=
\frac{a-c}{a-d}:\frac{b-c}{b-d}=(abcd).
\end{multline*}


Задача а) следует из равенства модулей этих чисел, а задача б) — из равенства их аргументов.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.026

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .