Информация о задаче

Задача 78202

Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны n комплексных чисел C₁, C₂,..., C_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

Решение

Предположим, что точка z лежит вне рассматриваемого многоугольника C₁...C_n. Тогда через точку z можно провести прямую, не пересекающую многоугольник C₁...C_n. Поэтому векторы z - C₁, ..., z - C_n лежат в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следовательно, в одной полуплоскости лежат и векторы ${\frac{1}{z-C_1}}$ , ..., ${\frac{1}{z-C_n}}$ , поскольку ${\frac{1}{w}}$ = ${\frac{\overline{w}}{\vert w\vert^2}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ $\displaystyle \ne$ 0.

Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4