ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78202
Темы:    [ Комплексные числа в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

Решение

Предположим, что точка z лежит вне рассматриваемого многоугольника C1...Cn. Тогда через точку z можно провести прямую, не пересекающую многоугольник C1...Cn. Поэтому векторы z - C1, ..., z - Cn лежат в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следовательно, в одной полуплоскости лежат и векторы $ {\frac{1}{z-C_1}}$, ..., $ {\frac{1}{z-C_n}}$, поскольку $ {\frac{1}{w}}$ = $ {\frac{\overline{w}}{\vert w\vert^2}}$. Поэтому

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$$\displaystyle \ne$0.

Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 22
Год 1959
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .