ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78198  (#1)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78200  (#2)

Тема:   [ Центр масс ]
Сложность: 3
Классы: 11

Пусть ABCD — пространственный четырёхугольник, точки K1 и K2 делят соответственно стороны AB и DC в отношении $ \alpha$, точки K3 и K4 делят соответственно стороны BC и AD в отношении $ \beta$. Доказать, что отрезки K1K2 и K3K4 пересекаются.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78201  (#3)

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Покрытия ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную 1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее $ {\frac{1}{9}}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78202  (#4)

Темы:   [ Комплексные числа в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78203  (#5)

Темы:   [ Концентрические окружности ]
[ Поворот (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Два концентрических круга поделены на 2k равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .