ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64328
Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что а, b и c – различные составные натуральные числа, но каждое из них не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что если эти числа – наименьшие из возможных, то их произведение abc является кубом натурального числа.


Решение

  По условию ни одно из чисел a, b, c не имеет простых делителей, меньших 100. Поскольку эти числа – составные, то у каждого из них есть не менее двух простых делителей, больших 100.
  Первые три простых числа во второй сотне – это 101, 103 и 107. Следовательно, 101² является наименьшим числом, обладающим указанными свойствами, а 101·103 – следующим за ним. Так как  103² = 10609 < 101·107 = 10807,  то следующее число – 103².
  Таким образом,  abc = 101²·101·103·103² = (101·103)³.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
Класс 7
задача
Номер 7.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .