Задача 64333

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Циркулем и линейкой разбейте данный треугольник на два меньших треугольника с одинаковой суммой квадратов сторон.

Решение

  Пусть B и C – острые углы треугольника, тогда высота AH попадёт на сторону BC, а не на её продолжение. Построим на BC такую точку D, что  BD = CH.  Тогда и  CD = BH  (см. рис.).

 Треугольники ABD и ACD – искомые. Действительно, по теореме Пифагора  AH² = AB² – BH² = AC² – CH²,  поэтому  AB² + CH² = AC² + BH²,  откуда
AB² + BD² = AC² + CD².  Добавив к обеим частям последнего равенства слагаемое AD², получим равенство сумм квадратов сторон для указанных треугольников.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	2