Задача 64340

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Существует ли многогранник, у которого отношение площадей любых двух граней не меньше 2?

Решение

  Допустим, такой многогранник существует. Выпишем площади его граней в порядке убывания: S₁, S₂, ..., S_n. Тогда
S₂ ≤ ½ S₁,  S₃ ≤ ½ S₂ ≤ ¼ S₁,  ...,  S_n ≤ 2^1–n  и  S₂ + S₃ + ... + S_n < (½ + ¼ + ...) = S₁.
  Спроектируем все грани на плоскость грани площади S₁. Эти проекции покроют её полностьюю Но площадь проекции не превосходит площади самой грани, следовательно,  S₁ ≤ S₂ + S₃ + ... + S_n. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
	1
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3