ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 64338  (#1)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке M на стороне AD. Докажите, что точка O – центр вписанной окружности треугольника BMC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64339  (#2)

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Нилов Ф.

Внутри угла AOD проведены лучи OB и OC, причём  ∠AOB = ∠COD.  В углы AOB и COD вписаны непересекающиеся окружности.
Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла AOD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64340  (#3)

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Существует ли многогранник, у которого отношение площадей любых двух граней не меньше 2?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64341  (#4)

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что  PK = ML.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64342  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Радикальная ось ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Ф.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что  ORTC,  где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .