ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64342
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Радикальная ось ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что  ORTC,  где O – центр описанной окружности треугольника ABC.


Решение 1

  Пусть H – ортоцентр треугольника, O1 – середина CH (см. рис.).
  OM || CH  и, как известно,  OM = ½ CH = O1C  (см. например, решение задачи 55595). Значит, MOCO1 – параллелограмм, а R – точка пересечения его диагоналей, то есть – середина отрезка OO1.

  Рассмотрим описанные окружности Ω и Ω1 треугольников ABC и PQC, а также окружность Ω2 с диаметром AB. Заметим, что AB – радикальная ось Ω и Ω1, а PQ – радикальная ось Ω1 и Ω2. Эти радикальные оси пересекаются в точке T – радикальном центре этих трёх окружностей. Следовательно CT – радикальная ось Ω и Ω1 и перпендикулярна их линии центров OO1, что и требовалось.


Решение 2

  Проведём высоту CL (рис. слева). Заметим, что R – центр описанной окружности прямоугольного треугольника CLM. Докажем, что TC – радикальная ось описанных окружностей треугольников ABC и CLM. Тогда она перпендикулярна линии центров этих окружностей, то есть прямой OR, что и требуется.

           
  Точка C лежит на радикальной оси этих окружностей, как одна из точек пересечения. Осталось доказать, что степени точки T относительно этих окружностей равны.
  Для этого рассмотрим окружность Эйлера треугольника ABC (она содержит точки P, Q, L и M, см. задачу 52511) и окружность, описанную вокруг четырёхугольника AQPB (рис. справа). Имеем  TL·TM = TP·TQ = TB·TA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
1
Класс 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .