Информация о задаче

Задача 55595

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9
Название задачи: Прямая Эйлера.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Подсказка

Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Решение

Первый способ.

Пусть A₁ — середина стороны BC треугольника ABC, G — точка пересечения прямых AA₁ и OH. Воспользуемся известным фактом: AH = 2OA₁.

Из подобия треугольников A₁GO и AGH следует, что

$\displaystyle {\frac{AG}{GA_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{HG}{GO}}$ = $\displaystyle {\frac{AH}{OA_{1}}}$ = 2.

Следовательно, G — точка пересечения медиан треугольника ABC, т.е. G совпадает с M и MH = 2MO.

Второй способ.

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы, а AA₂, BB₂ и CC₂ — высоты треугольника ABC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке M и коэффициентом - ${\frac{1}{2}}$ .

При этой гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник A₁B₁C₁, а прямые AA₂, BB₂ и CC₂ — в серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC (высоты треугольника A₁B₁C₁). Поэтому точка H пересечения высот треугольника ABC переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров этого треугольника, т.е. в центр O его описанной окружности. Следовательно, точки H и O лежат на прямой, проходящей через центр гомотетии (точку M), и MH = 2MO.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5044


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Комплексные числа и геометрия
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	08.035


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	11
Название	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер	05.105