ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64339
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

Внутри угла AOD проведены лучи OB и OC, причём  ∠AOB = ∠COD.  В углы AOB и COD вписаны непересекающиеся окружности.
Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла AOD.


Решение

Пусть O1 и O2 – центры данных окружностей, R1 и R2 – их радиусы, L – точка пересечения касательных. Заметим, что окружности гомотетичны с центром L, то есть  .  С другой стороны, из подобия прямоугольных треугольников с гипотенузами OO1 и OO2 (см. рис.) следует, что  .  Таким образом,  ,  откуда следует, что OL – биссектриса треугольника O1OO2, а значит, и угла AOD.

Замечания

1. Если рассматривать не внутренние касательные, а внешние, то точка их пересечения будет лежать на биссектрисе соответствующего внешнего угла, то есть на прямой, перпендикулярной OL.

2. Угол AOB может быть и больше половины угла AOD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
1
Класс 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .