ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64341
Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что  PK = ML.


Решение

  Из подобия треугольников следует, что    (рис. слева). Заметим, что   ,   .
Рассмотрим суммы в скобках.    получается из    поворотом на угол  α =   и умножением на  .  Аналогично    получается из    поворотом на угол –α и умножением на  .

             

  Заметим, что  ,  а    (рис. справа). Поскольку диагонали перпендикулярны, то эти векторы симметричны относительно BD, следовательно, суммы в скобках тоже симметричны относительно BD, и при прибавлении к ним вектора    получаются векторы одинаковой длины.

Замечания

Ср. с задачей 56507.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
1
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .