ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64338
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке M на стороне AD. Докажите, что точка O – центр вписанной окружности треугольника BMC.


Решение 1

Из равенства вписанных углов следует, что  ∠OBC = ∠DBC = ∠DAC = ∠MAO = ∠MBO  (см. рис.), то есть BO – биссектриса угла MBC. Аналогично CO – биссектриса угла BCM. Следовательно, O – центр вписанной окружности треугольника BMC.


Решение 2

AMO = ∠DCO = ∠DCA = ∠DBA = ∠OBA = ∠DMO.  Отсюда следует, что все эти углы – прямые. Значит, DB и AC – высоты треугольника, образованного прямыми AB, DC и AD, ортоцентр O которого является центром вписанной окружности ортотреугольника BMC (см. задачу 52866).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
1
Класс 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .